2-Rasyonel Sayılar Ve İşlemler

RASYONEL SAYILAR

a bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Kısacası bir sayıyı kesir şeklinde yazabiliyorsak rasyonel sayıdır. Rasyonel sayılar kümesi Q harfi ile gösterilir.

Tanımdan yola çıkarak şunlara ulaşabiliriz:

• Her doğal sayı ve tam sayı birer rasyonel sayıdır. (Çünkü paydalarına 1 yazabiliriz.)
• Her kesir bir rasyonel sayıdır.

Sıfırdan büyük rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar denir ve Q⁺ ile gösterilir.

Sıfırdan küçük rasyonel sayılara negatif rasyonel sayılar denir ve Q^- ile gösterilir.

Sıfırın, sıfır hariç bir sayıya bölümü sıfırdır.

Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Bu yüzden paydaya sıfır gelmez.

Negatif kesirlerde eksi ( - ) işareti paya, paydaya veya kesir çizgisinin önüne konulabilir.

 

 

KESİR ÇEŞİTLERİ

Basit Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.

 

 Bileşik Kesir

İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük olmayan (büyük veya eşit olan) kesirlere bileşik kesir denir.

Tam Sayılı Kesirler

Herhangi bir sayma sayısı ile birlikte yazılabilen kesirlere tam sayılı kesir denir.

 

RASYONEL SAYILARI SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

Rasyonel sayılar sayı doğrusunda gösterilirken önce tam sayılı kesre dönüştürülür. Sonra tam kısmı kadar ilerlenir. (Pozitifse sağa, negatifse sola doğru) Daha sonra bu tam sayı ile bir sonraki tam sayı ile arası kesrin paydası kadar parçaya bölünür ve kesrin payı kadar ilerlenir. Bu ilerleme negatif sayılarda sola doğru pozitif sayılarda sağa doğrudur. Yani 0'dan uzaklaşırız.

Yukarıdaki örneğe bakacak olursak 1 tam 5/6 kesri 1 ile 2 arasındadır. Dolayısıyla 1 ile 2 arası 6 parçaya bölünür ve 5 parça ilerlenip sayının yeri bulunur.

- 3/4 kesrine bakacak olursak bu basit kesir olduğu için 0 ile -1 arasındadır ve bu aralık 4 parçaya bölünür. Bu parçalardan sola doğru 3 parça ilerlenir ve kesrin  yeri bulunmuş olur.

 

 

DEVİRLİ ONDALIK KESİRLER

Bir ondalık kesirde ondalıklı kısım belli bir kurala göre tekrarlanıyorsa bu sayıya devirli ondalık kesir denir.

Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya dönüştürürken (kesir haline) şu adımlar takip edilir:

1) Virgül ve devir çizgisi dikkate alınmadan okunan sayıdan, üzerinde devir çizgisi olmayan sayı çıkarılır ve paya yazılır.

2) Paydaya ise virgülden sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 yazılır ve yanına devretmeyen sayı kadar sıfır yazılır.

Formül: a,b,c,d,e birer rakam olmak üzere:

                   
Örnek: 1,234343434... sayısını kesir olarak yazacak olursak(devreden sayı 34 olduğu için 34'ün üzerinde devir çizgisi olur);

Pay: 1234 - 12 = 1222

Payda: 990 olur.

 

 

RASYONEL SAYILARI SIRALAMA

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paydalar eşitlenirse,payı büyük olan büyüktür.

Pozitif rasyonel sayılarda sıralama yaparken paylar eşitlenirse,paydası büyük olan küçüktür.

Negatif rasyonel sayılarda sıralama yaparken, pozitif rasyonel sayılardaki gibi sıralama yapılır.Sonra sıralamanın tam tersi alınır.

Negatif ve pozitif rasyonel sayılar karışık verilirse yine payda eşitlenir.Negatif olanların daima küçük, pozitif olanların daima büyük olduğu unutulmamalıdır.

Rasyonel sayıları sıralarken sayı doğrusuna da kullanabiliriz. Sağdan kalanlar hep büyük olur, solda kalanlar hep küçük olur.

RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ 

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi yaparken tam sayılarda çarpmada öğrendiklerimizi ve kesirlerde çarpmada öğrendiklerimizi kullanacağız. Kesirlerde öğrendiğimizin üzerine negatif sayılarla işlem yapmayı da öğreneceğiz. 

Rasyonel sayılarda çarpma işlemi şunlara dikkat edilir:

- Çarpılan sayılarda tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.

- Çarpılan sayılarda tam sayı varsa paydasına 1 yazılır.

- Varsa sadeleştirme yapılır. Sadeleştirme yaparken çarpılan sayılarda paydaki herhangi bir sayı ile paydadaki herhangi bir sayı sadeleştirilebilir.

Gelelim İşleme:

- Çarpanlardaki paylar çarpılıp sonucun payına, paydalar çarpılıp sonucun paydasına yazılır.

Şimdi bir kaç örnek yapalım.

Bu örnekte tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmeyi unutmuyoruz.

Bu örnekte -5'in altına 1 yazıyoruz ki işlemlerde hata yapmayalım.

 Bu örnekte de sadeleştirme yapabiliyoruz. Üstteki herhangi bir sayı ile alttaki herhangi bir sayı. Tabi hepsi çarpma ise işlemlerin.

 

 RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİNDE MODELLEME

Modelleme yapılırken çarpılan iki kesirden biri yatay biri dikey olarak ayrı ayrı modellenir ve üst üste konulur. İki renge de boyanmış küçük dikdörtgenlerin sayısının bütün dikdörtgenlere oranı da cevap olur.

Örnekte olduğu gibi mor renkler çakışan renkler pay, bütün dikdörtgenler de payda oluyor.

 

Değişme Özelliği: Çarpılan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmediği için rasyonel sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

 

Birleşme Özelliği: İkiden fazla sayı çarpılırken parantez koyup önce iki tanesini çarpıp sonuçla diğerini çarpmak sonucu değiştirmez. Buna birleşme özelliği denir.

 

Dağılma özelliği: Çarpma işlemini toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağıtabiliriz. 

Aşağıdaki örnekte çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini göstereceksiniz. Aynı şekilde aradaki işlem çıkarma olursa çarpmayı çıkrama üzerine dağıtırız.

 

 

 

 Çarpma İşleminde 1'in Etkisi (Etkisiz Eleman)

Bir sayıyı 1 ile çarparsak sonuç sayının kendisi olur. Bu yüzden "1" çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.

 

Çarpma İşleminde 0'ın Etkisi (Yutan Eleman)

Bir sayıyı sıfır ile çarparsak sonuç "0" olur. Bu yüzden "0" çarpma işleminin yutan elemanıdır.

 

Çarpma İşleminde - 1'in Etkisi

Bir sayıyı -1 ile çarparsak sonuç o sayının toplama işlemine göre tersi olur. 

 

Çarpma İşleminde Ters Eleman

Çarpımları 1 olan iki rasyonel sayı çarpma işlemine göre birbirinin tersidir.

 

RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ 

Rasyonel sayılarda bölme işlemi yaparken iki yöntem öğreneceğiz. Bunlardan biri ters çevir çarp yöntemi, diğer ise ortak payda algoritması.

 

1) Ters Çevir Çarp Yöntemi

Bu yöntemde birbirine bölünen iki kesirden ilk (yani bölünen) kesir aynen yazılır, ikinci kesir (yani bölen) kesir ters çevrilerek ilk kesirle çarpılır. (çarpma işlemine göre ters çevirme). Bu aşamadan sonra Rasyonel sayılarda çarpma işleminde öğrendiğimiz şekilde çarpmayı yaparız.

 

Bölme işleminde şunlara da dikkat etmeliyiz:

- Bölünen sayılarda tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.

- Bölünen sayılarda tam sayı varsa paydasına 1 yazılır.

- Çarpmaya dönüştürdükten sonra varsa sadeleştirme yapılır. Sadeleştirme yaparken çarpılan sayılarda paydaki herhangi bir sayı ile paydadaki herhangi bir sayı sadeleştirilebilir.

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi ilk kesri aynen yazdık ikinci kesri ters çevirdik. Sonra çarpma işlemini yaptık.

 

2) Ortak Payda Algoritması

Ortak payda yönteminde bölünen iki kesrin paydası eşitlenir daha sonra paylarının oranı sonuç olarak yazılır.

Az önceki örneği bu sefer ortak payda yöntemiyle yapalım.

Önce paydaları eşitledik, daha sonra payların oranını sonuç olarak yazdık.

 

Bölme İşleminde 0'ın Etkisi

0 sayısının bir sayıya (sıfır hariç) bölümü 0'dır. 

Bir sayının 0'a bölümü tanımsızdır. (Bölen sayı ve payda sıfır olamaz.)

 

Bölme İşleminde 1'in Etkisi

1 sayısının bir sayıya bölümü o sayının çarpma işlemine göre tersidir

Bir sayının 1'e bölümü o sayının kendisidir.

 

Bölme İşleminde -1'in Etkisi

-1 sayısının bir sayıya bölümü çarpma işlemine göre tersinin toplama işlemine göre tersidir. Yani sayı hem ters döner hem işaret değiştirir.

Bir sayının -1'e bölümü o sayının toplama işlemine göre tersidir.(Ters işaretlisidir)