1-Tam Sayılar
TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
1- Sayı doğrusunda toplama işlemi
Sayı doğrusunda toplama işlemi yaparken toplanan sayı pozitif ise sağa doğru, negatif ise sola doğru hareket edilir. Sonuç sıfırdan başlanarak sayı doğrusunun altına çizilir.
Örnek : (+4) + (+5) işlemini sayı doğrusunda gösterelim.
Örnek: (-7) + (+3) işlemini sayı doğrusunda gösterelim.
2- Sayma pulları ile tam sayılarda toplama işlemi
Sayma pullarında (+) pul +1 sayısını, (-) pul -1 sayısını temsil eder.
(+) ve (-) pullunun oluşturduğu çift sıfır kabul edilir.
Örnek: (-2) + (-3) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.
Örnek: (+1) + (-4) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.
3- Tam sayılarla toplama işlemi
• Aynı işaretli sayılar toplanırken sayıların mutlak değerleri toplanır ve sayıların ortak işareti sonuca verilir.
(-5) + (-7) işleminde sayılar aynı işaretli olduğu için 5 + 7 = 12 bulunur ve ortak işaret olan - sonuca yazılır.
(-5) + (-7) = -12
• Ters işaretli sayılar toplanırken sayıların mutlak değerleri büyük olanından küçük olanı çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca verilir.
(-15) + (+8) işleminde sayılar ters işaretli olduğu için 15 - 8 = 7 bulunur ve mutlak değerce büyük olan 15'in işaret olan - sonuca yazılır.
(-15) + (+8) = -7
Örnek: (-9) + (+12) işlemini yapalım. Burada 12 > 9 olduğundan 12-9=3 bulunur ve 12'nin işareti olan + sonucun işareti olur.
(-9) + (+12) = +3
NOT: Toplamları 0 olan iki sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.
Örnek: 5 + ( -5 ) = 0 olduğu için 5'in toplama işlemine göre tersi - 5 ' tir.
- 3'ün toplama işlemine göre tersi +3'tür.
TAM SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
1- Sayma pulları ile tam sayılarda çıkarma işlemi
Sayma pullarında (+) pul +1 sayısını, (-) pul -1 sayısını temsil eder.
(+) ve (-) pullunun oluşturduğu çift sıfır kabul edilir. Çıkarma işleminde bizim elimizdeki pullardan istenilen pulları çıkarmamız esastır.
Örnek: (+4) - (+1) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.
(Elimizde 4 tane (+) pul vardı, bizden bir tane (+) pulu çıkarmamızı istedi biz de çıkardık =)
Örnek: (-2) - (-5) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.
(Elimizde 2 tane (-) pul var, bizden 5 tane (-) pul istiyor. Elimizde olmadığı için dışarıdan içinde 3 tane (-) 3 tane (+) pul bulunan 0 Çifti getiriyoruz. Şimdi elimizde 5 (-) ve 3 (+) pul var. Bizden istediği 5 (-) pulu verdik bize kaldı 3 tane (+) pul.)
Örnek: (-6) - (+2) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.
(Yukarıdaki örneğe benzer şekilde 6 (-) pulumuz var bizden 2 (+) pul çıkarmamızı istiyor. Dışarıdan içinde 2 (-) ve 2 (+) pul olan sıfır çifti getirdik. Çıkarmamızı istediği 2 (+) pulu çıkardık ve elimizde 8 (-) pul kaldı.)
2- Tam sayılarla çıkarma işlemi
Tam sayılarla çıkarma işlemi toplama işleminden faydalanarak yapılır. Örneklerle inceleyelim.
Örnek: (-3) - (+2) işlemini yapalım.
İşlemi toplama işlemine çevirmek için yan yana olan + ve - nin yerlerini değiştiririz.
> (-3) - (+2)
= (-3) + (-2) *Aynı işaretli sayılarda toplamayı yukarıda öğrenmiştik
= -5
Örnek: (+7) - (-5) işlemini yapalım.
İşlemi toplama işlemine çevirmek için yan yana olan - ler + ya çevrilir.
> (-7) - (-5)
= (-7) + (+5) *Ters işaretli sayılarda toplamayı yukarıda görmüştük.
= -2
TAM SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
Kural: Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitif, ters işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.
Örnek: Aşağıdaki işlemlerde çarpılan sayılar aynı işaretli olduğu için cevap pozitiftir.
(+5) . (+3) = + 15
(- 2) . (- 4) = + 8
3 . 7 = 21
Örnek: Aşağıdaki işlemlerde çarpılan sayılar ters işaretli olduğu için cevap negatiftir.
(- 6) . (+5) = - 30
8 . (- 2) = - 16
-3 . 3 = - 9
Çarpma İşleminin Özellikleri:
Kapalılık Özelliği: İşlem yapılan sayılar ve işlemin sonucundaki sayı aynı sayı kümesinin elemanı ise bu işlemin o kümede kapalılık özelliği vardır denir.
Şimdi tam sayılarda çarpma işlemine uyarlarsak, çarpılan iki tam sayının sonucunda çıkan sayı da her zaman tam sayı olduğu için tam sayılarda çarpma işleminin kapalılık özelliği vardır. Aynı özellik toplama işleminde de vardır.
- 7 . 4 = - 28 işlemine bakalım. - 7 ve 4 tam sayıdır. Çıkan sonuç da (-28) tam sayıdır. Burada hangi tam sayıları çarparsak çarpalım cevap yine tam sayı çıkacağı için tam sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
Değişme özelliği: Çarpılan sayıların yeri değişse de işlemin sonucu değişmediği için tam sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
5 . 3 = 3 . 5
(- 7) . 8 = 8 . (- 7)
Birleşme özelliği: İkiden fazla sayı çarpılırken parantez koyup önce iki tanesini çarpıp sonuçla diğerini çarpmak sonucu değiştirmez. Buna birleşme özelliği denir.
1.2.3 işleminde;
(1.2).3 şeklinde önce 1 ile 2'yi çarpıp sonra çıkan sonucu 3 ile çarpmak,
1.(2.3) şeklinde önce 2 ile 3'ü çarpıp sonraçıkan sonucu 1 ile çarpmak ile aynıdır.
Dağılma özelliği: Çarpma işlemini toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağıtabiliriz.
- 5 . ( 100 + 2 ) işleminde parantez dışındaki çarpan olan -5'i içerideki sayılarla sırayla çarparız. Daha sonra içerideki işlem toplama olduğu için çıkan sonuçları toplarız.
- 5 . ( 100 + 2 )
= (- 5 . 100) + (-5 . 2)
= (- 500) + (-10)
= - 510
Burada çarpma işleminin toplama üzerine dağılma özelliğini gördük. Eğer içerideki işlem çıkarma işlemi olsaydı çıkarma üzerine dağılma olacaktı. Dağılma özelliği zihinden işlem yapmamızı çok kolaylaştırır. Örnek verecek olursak:
7 . 98 işlemini ele alalım. 98'in 100'den iki eksik olduğunu biliyoruz.
7 . ( 100 - 2) şimdi çarpmayı çıkarma üzerine dağıtalım.
= 7 . 100 - 7 . 2
= 700 - 14
= 686 cevabını buluruz.
Etkisiz Eleman: Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1'dir. Yani bir sayıyı 1 ile çarparsak cevap o sayının kendisi çıkar.
- 23 . 1 = - 23
458 . 1 = 458
Yutan Eleman: Çarpma işleminin yutan elemanı 0'dır. Yani bir sayıyı 0 ile çarparsak cevap 0 çıkar.
- 45 . 0 = 0
985 . 0 = 0
TAM SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
Kural: Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitif, ters işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.
Örnek: Aşağıdaki işlemlerde bölünen sayılar aynı işaretli olduğu için cevap pozitiftir.
(+15) : (+3) = + 5
(- 12) : (- 4) = + 3
21 : 7 = 3
Örnek: Aşağıdaki işlemlerde bölünen sayılar ters işaretli olduğu için cevap negatiftir.
(- 16) : (+4) = - 4
8 : (- 2) = - 4
-3 : 3 = - 1
İşlem Önceliği
İşlem yaparken hangi işlemi önce yapacağımızı aşağıdaki sıraya göre belirleriz:
Önce üs alma işlemleri yapılır
Sonra parantez içindeki işlemler yapılır
Daha sonra ÇARPMA veya BÖLME işlemi yapılır
Son olarak TOPLAMA veya ÇIKARMA işlemi yapılır
Birbirine göre önceliği olmayan işlemlerde ( Çarpma ve bölmenin, toplama ve çıkarmanın birbirine göre üstünlüğü yoktur) işlem sırası soldan sağa doğru takip edilir.